II.B
SECCION B. Solución de Modelos Lineales con el Método Gráfico.1- En el análisis cuantitativo, una vez que se ha formulado y construido un modelo lineal para
resolver un problema existente, en un sistema cualquiera, es necesario resolverlo.
2- La solución de un modelo lineal muestra siempre un conjunto convexo delimitado por las
restricciones del mismo y en el cual, si existe solución posible, al menos uno de sus puntos
extremos es la solución óptima. Un punto extremo existe en la intersección de, al menos, dos
rectas.
3- El método gráfico se usa para resolver modelos lineales con dos variables y muestra el conjunto
convexo que constituye la denominada región solución y el(los) punto(s) s extremo(s) que
proporciona(n) la solución del modelo.
4- El Método Gráfico permite conocer la base matemática de la solución de modelos lineales, los
conjuntos convexos, y observar gráficamente situaciones que se presentan en modelos de
cualquier tamaño. Esto ayuda a la comprensión de la Programación Lineal.
5- El proceso para trabajar con el Método Gráfico sigue los pasos siguientes: a) Graficar las
restricciones como igualdades y luego determinar el área correspondiente a la desigualdad,
sombreando el espacio correspondiente. b) Determinar el área común a todas las restricciones.
c) Evaluar la Función Objetivo en cada punto extremo del espacio de soluciones posibles. El
punto o los puntos extremos en el que se obtenga el mejor valor, determinarán la solución del
modelo.
6- Existe un procedimiento alterno al punto c), señalado en el Método Gráfico, para obtener la
solución del modelo. Este procedimiento alterno consiste en graficar la Función Objetivo con un
valor arbitrario dentro de la región solución. Luego se desplaza paralelamente en la dirección
que incremente su valor (si está maximizando) o decrezca su valor (si está minimizando). El
punto o los puntos extremos que toque esa Función Objetivo antes de salir totalmente fuera de la
región de soluciones posibles determinarán el óptimo, o solución del modelo.
7- Al conjunto convexo de solución se le llama región de soluciones posibles, porque todos los
puntos de esa región satisfacen TODAS las restricciones del modelo.
8- Un modelo tiene solución óptima UNICA cuando sólo una combinación de variables
proporciona el mejor valor para el objetivo; se reconoce en el gráfico porque un único punto
extremo provee el mejor valor del objetivo o un único punto extremo limita el valor de la recta
objetivo.II.B.2
Práctica de Solución de Modelos con el Método GráficoCASO 1. MODELOS CON SOLUCIÓN ÓPTIMA
ÚNICA.El modelo es formulado por una empresa asesora de inversiones para elaborar la cartera de un cliente. Las
variables X1 y X2 representan la cantidad de acciones Tipo 1 y 2 a comprar para satisfacer el objetivo
establecido de maximizar el retorno anual de esa inversión o compra de acciones. El monto total disponible
para invertir es de $80.000. El riesgo es una medida relativa de las dos inversiones alternativas. La acción
Tipo 1 es una inversión más riesgosa. Limitando el riesgo total para la cartera, la firma inversora evita
colocar montos excesivos de la cartera en inversiones de retorno potencialmente alto pero de alto riesgo.
También se limita el monto de acciones de mayor riesgo.Max 3X1+ 5X2 (Retorno anual en $)
Sujeto a:
25 X1 + 50 X2
0.5 X1 + 0.25 X2
1 X1
X1, X2
Considerando los apartes 5 y 6 de la teoría, en la sección B, se tiene lo siguiente:
£ 80.000 $ de fondos disponibles£ 700 riesgo máximo£ 1.000 acciones Tipo 1³ 0a)
Graficar las restricciones:Restricción 1
Una los puntos ( 3.200, 0) y ( 0, 1.600 ). El lado de la restricción “ < “ está bajo esa recta.
: Cuando X1 = 0, entonces X2 = 1.600; Cuando X2 = 0, entonces X1 = 3.200Restricción 2
Una los puntos ( 1.400, 0) y ( 0, 2.800). El lado de la restricción “ < “ está bajo esa recta.
: Cuando X1 = 0, entonces X2 = 2.800; Cuando X2 = 0, entonces X1 = 1.400Restricción 3
El lado de la restricción “ < “ se tiene, a partir de esa recta, hacia el lado donde está el punto de origen.
Sombree, o señale de alguna manera, el conjunto convexo llamado también región posible.
(Ver Gráfico 1).
b) Grafique la Función Objetivo asignándole un
valor arbitrario. Este valor, preferiblemente,
debe permitir que el objetivo se muestre en la
región solución. Por ejemplo, puede ser
utilizado el valor 3.000. Los puntos de corte
en los ejes, para graficarla, son los puntos (
1.000, 0 ) y ( 0, 600). La Función Objetivo se
grafica con línea de color, en este caso, para
diferenciarla de las restricciones.
c) Mueva la Función Objetivo, paralelamente a sí
misma en la dirección que incrementa su valor
(hacia arriba en este caso), hasta que toque el
último (los últimos, si los toca al mismo
tiempo) punto extremo de la región solución.
d) En ese punto extremo final, b en este caso,
resuelva el par de ecuaciones que se
interceptan. En este caso son las ecuaciones 1
y 2. Utilice cualquiera de los métodos para
resolver pares de ecuaciones lineales con dos variables.
e) Alternativamente, para determinar la solución óptima, puede calcular las coordenadas a todos los puntos
extremos: a, b, c y d y e, en el conjunto convexo de soluciones. Luego evalúa la Función Objetivo en cada
uno de ellos. El punto extremo que proporcione el mayor valor será el punto extremo óptimo.
f) En ambos casos se obtiene la solución óptima en el punto extremo b con coordenadas (800, 1.200). Así,
la solución óptima es X1 = 800 y X2 = 1.200. Resolviendo en la Función Objetivo:
Max 3X1+ 5X2 Se obtiene: 3(800) + 5(1.200) = 8.400En este caso 1, conteste lo siguiente:
1.1 ¿Qué representa el coeficiente de la variable X2 en la Función Objetivo y en la segunda restricción?
1.2 ¿Qué Tipo de solución presenta el modelo?, ¿Por qué? y ¿Cómo se reconoce en el gráfico?
1.3 ¿Cuál es la decisión que se recomendaría con la solución encontrada?
1.4 Analice las restricciones en el punto óptimo y presente la información que se obtiene.
1.5 ¿Qué efecto tendría sobre la solución óptima encontrada un cambio en el retorno anual de cada acción
Tipo 2. Suponga que cambia a 9. Explique y muestre sobre el gráfico. ¿Cómo se llama este Análisis
que se hace?.
RESPUESTAS:
1.1 En la Función Objetivo representa el retorno anual de cada acción Tipo 2 comprada, es decir cada acción
Tipo 2 que se compre proporcionará un retorno anual de Bs. 5. En la restricción 2, representa el riesgo
medido para cada acción Tipo 2. Es decir, cada acción Tipo 2 tiene un riesgo de 0.25.
1.2 Solución Única, porque hay una única combinación de acciones Tipo 1 y 2 a comprar que maximiza el
retorno anual de la inversión y se reconoce en el gráfico porque un único punto extremo proporciona el
máximo valor para el objetivo. En este caso, el punto b.
1.3 Comprar 800 acciones Tipo 1 y 1.200 Acciones Tipo 2 para maximizar el ingreso anual en 8.400
unidades monetarias ($)
1.4 Restricción 1: 25 (800) + 50 ( 1200) = 80.000 Se observa que se cumple exactamente, es decir como
una igualdad. Esto indica que con esa decisión óptima se utiliza totalmente el monto máximo de
presupuesto disponible para la compra.
Restricción 2: 0.5 (800) + 0.25 ( 1200) = 700 Se observa que se cumple exactamente, es decir como
una igualdad. Esto indica que con esa decisión óptima se tendrá totalmente el monto máximo requerido
de riesgo para la compra.
Restricción 3: 1 (800) = 800; 800 < 1.000 Se observa que se cumple como una desigualdad.
Esto indica que con esa decisión óptima se compran 800 acciones Tipo 1, 200 menos del monto
máximo requerido. Recuerde que eso está permitido debido que la restricción es “menor o igual a”.
En el gráfico puede observarse, como algo lógico, que las restricciones que se cumplen como igualdades
están cruzando sobre el punto óptimo y las que se cumplen como desigualdades están en la región
solución alejadas del punto óptimo.
1.
óptima. En este caso, se realiza para determinar el efecto que produce sobre la solución óptima, un
cambio en un coeficiente de una variable en la Función Objetivo.
La nueva Función Objetivo, 3X1 + 9X2, es graficada nuevamente.
Se observa sobre el mismo gráfico 2 quela pendiente de la recta objetivo (f.
cambia. Ahora al desplazarse, en
crecimiento, el punto extremo que la
limita es el de la intersección de las rectas
que corresponden a la restricción de
fondos disponibles y a la ordenada o
restricción de no- negatividad, punto
extremo “a”. La nueva solución es una
solución única, con otros valores para las
variables.
CASO 2. MODELOS CON SOLUCIONES ÓPTIMAS ALTERNAS O MÚLTIPLES.
Max 6X1+ 2X2 (Beneficio)
Sujeto a:
3 X1 + X2
3 X1 + 4 X2
3 X1 + X2
X1, X2
El modelo es formulado por una empresa que desea determinar la cantidad de unidades de producto 1 ( X1)
y producto 2 (X2) a fabricar para satisfacer el objetivo establecido de maximizar el beneficio. El monto total
disponible de horas de trabajo para este período es de 48. La disponibilidad de materia prima es de 120
unidades y la cantidad mínima de horas disponibles para supervisión es de 36 horas.
Graficar las restricciones y obtener el espacio de
solución se efectúa en forma similar al proceso
efectuado en el caso 1 y por lo tanto no se repetirán
las instrucciones.
(Ver Gráfico 3)
Los puntos extremos del conjunto convexo son:
A(16,0), B(8,24), C(8/3,28) y D(12,0).
Dos puntos extremos proporcionan el máximo
valor del objetivo, los puntos A y B. Esto permite
afirmar que existen soluciones óptimas Alternas
para este modelo. Son óptimos todos los puntos
sobre el segmento de línea AB que limita el
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