CAPITULO II
PROGRAMACIÓN LINEAL
II.A
Formulación y Construcción de Modelos
1- Programación Lineal es una técnica cuantitativa ampliamente aplicada en sistemas que presenten
relaciones lineales, para utilizar los recursos escasos de la mejor manera posible.
2- La mejor manera de usar los recursos escasos se logra utilizando un modelo del sistema llamado
Modelo de Programación Lineal.
3- El Modelo de Programación Lineal es un modelo matemático con variables de decisión,
coeficientes y/o parámetros, restricciones y una Función Objetivo.
4- Es determinístico porque todos los datos relevantes utilizados, son conocidos. Es lineal porque
las restricciones y el objetivo son funciones lineales. La contribución de cada variable al valor
total del objetivo y al lado derecho de cada restricción es proporcional al valor de la variable. Es
aditivo porque los términos de sus restricciones y objetivo pueden sumarse (o restarse). La
contribución de cada variable es independiente del valor de las otras variables. Es divisible
porque las variables de decisión pueden aceptar valores fraccionales. En caso de no aceptar
valores fraccionales, sería preferible usar Programación Lineal Entera.
5- La Función Objetivo del Modelo Lineal es la formulación matemática de una meta establecida y
por lo tanto su valor final mide la efectividad lograda. Es una función lineal a ser maximizada o
minimizada y tiene la siguiente forma general:
Optimizar C1X1 + C2X2 + C3X3 + C4X4 +...................+ CnXn
6- Xj, simboliza matemáticamente a las variables de decisión. Son los valores numéricos que se
determinan con la solución del modelo y representan o están relacionadas con una actividad o
acción a tomar. Son los únicos valores desconocidos en el modelo y pueden existir en cualquier
cantidad, desde 1 hasta n variables. Es decir, j varía desde 1 hasta n.
7- Cj, matemáticamente, simboliza el coeficiente de la variable j en la Función Objetivo. Son
datos relevantes, insumos incontrolables ya conocidos. En la Función Objetivo representan la
cantidad con la cual contribuye cada unidad de la variable j, al valor total deseado en el objetivo.
8- Las restricciones, desde el punto de vista matemático, son funciones lineales expresadas como
igualdades o desigualdades, que limitan el valor de las variables de decisión a valores
permisibles. Representan recursos, condiciones o requerimientos establecidos. Las restricciones
del Modelo Lineal general tienen la forma siguiente:
a
11 X1 + a 12 X 2 + a 13 X 3 + a14 X 4 + .................. + a1n Xn ³ £ = b1a
21 X1 + a 22 X 2 + a 23 X 3 + a24 X 4 + .................. + a2n Xn ³ £ = b2a
31 X1 + a 32 X 2 + a 33 X 3 + a34 X 4 + .................. + a3n Xn ³ £ = b3. . . . . .
. . . . . .
a
9- Xj ³ 0 es una restricción de no negatividad de las j variables, la cual se le considera siempre
presente como una condición natural en el Modelo Lineal General.
II.A.2.1
1. El estudiante debe participar practicando el traslado de problemas, que se presentan en
sistemas específicos y que ya han sido definidos, a representaciones simplificadas. Por la
práctica se obtiene la experiencia. Por lo tanto, debe formular y construir modelos.
2. La Formulación implica describir conceptualmente los elementos componentes del modelo en
una situación específica.
3. La Construcción implica expresar en términos matemáticos los elementos definidos en el
modelo.
4. Considerando los adelantos realizados para la solución de modelos lineales, la habilidad para
formular y construir modelos es cada vez más importante.
II.A.2.2
En cada uno de los enunciados de problemas dados a continuación, debe trasladar la información
del sistema a un modelo que lo represente, es decir, Formule y Construya el Modelo Lineal
respectivo.
EJEMPLO 1.
Una empresa fabrica los productos A, B y C y puede vender todo lo que produzca a los siguientes
precios: A, Bolívares 700, cada unidad; B, Bolívares 3.500; C, Bolívares 7.000. Producir cada
unidad de A necesita 1 hora de trabajo, 2 horas de acabado y 3 unidades de materia prima. Producir
una unidad de B necesita 2 horas de trabajo, 3 horas de acabado y 2.5 unidades de materia prima.
Producir una unidad de C necesita 3 horas de trabajo, 1 hora de acabado y 4 unidades de materia
prima. Para este período de planificación están disponibles 100 horas de trabajo, 200 horas de
acabado y 600 unidades de materia prima.
Práctica.Con base en la teoría señalada en el aparte 5, sección A; para formular y construir el modelo, se tiene
lo siguiente:
a)Debe definirse claramente a las variables de decisión y expresarlas simbólicamente. En la computadora y dependiendo
del programa que utilice, dispondrá de un mayor espacio diseñado para escritura que puede utilizar para nombrarlas
convencionalmente.
X1: unidades a producir de producto A
X2: unidades a producir de producto B Estos son insumos controlables
X3: unidades a producir de producto C
b)Debe Definirse claramente el objetivo y expresarse como función lineal.
Objetivo: Maximizar ingresos de venta
10
Max 700 Bs. X1 Unid de A + 3.500 X2 + 7.000 X3
Unid de A
Escribir el objetivo de esta forma es expresar en unidades físicas uno de sus términos. Este término presenta la
información específica de lo que contiene y permite confirmar la esencia física de lo que se está sumando y también
que ello es consecuente con lo que se está obteniendo en el total de la ecuación; en este caso, ingreso en Bolívares.
c)Deben definirse las restricciones y expresarlas como funciones lineales.
Restricción 1: Disponibilidad limitada de horas de trabajo.
1 hora de trabajo X
1(unid. de producto A) + 2 X2 + 3 X3 £ 100 horas de trabajoUnidad de A
Restricción 2: Horas de acabado disponibles en este período:
2X
1 + 3 hora de acabado X2 (unid. de producto B) + 1 X3 £ 200 horas de acabadoUnidad de B
Restricción 3: Disponibilidad limitada de unidades de materia prima:
3X
1 + 2.5 X2 + 4 unid. de Materia prima X3 (unid. de producto B) £ 600 Unidades de Materia primaUnidad de B
De esta forma las restricciones están expresadas en unidades físicas. Se destaca en cada una de ellas alguno de sus
términos, con indicación de lo que representa. Esto confirma que lo que se está sumando es consecuente con lo que se
está obteniendo del lado derecho de la ecuación.
Finalmente, incorporando la restricción de no-negatividad de las variables de decisión, se resume así el modelo:
Max 700 X1 + 3.500 X2 + 7.000 X3
Sujeto a:
1X
1 + 2 X2 + 3 X3 £ 1002X
1 + 3 X2 + 1 X3 £ 2003X
1 + 2.5 X2 + 4 X3 £ 600X
EJEMPLO 2.
La Cámara de Industriales de la región periódicamente promueve servicios públicos, seminarios y
programas. Actualmente los planes de promoción para este año están en marcha. Los medios
alternativos para realizar la publicidad así como los costos y la audiencia estimados por unidad de
publicidad, además de la cantidad máxima de unidades de publicidad en que puede ser usado cada
medio se muestran a continuación.
Restricciones Televisión Radio Prensa
Audiencia por unidad de publicidad 100.000 18.000 40.000
Costo por unidad de publicidad $ 2.000 $ 300 $ 600
Uso máximo del medio 10 20 10
Para lograr un uso balanceado de los medios, la publicidad en radio no debe exceder el 50% del total
de unidades de publicidad autorizados. Además la cantidad de unidades solicitadas en televisión
debe ser al menos 10% del total autorizado. El presupuesto total para promociones se ha limitado a
$18.500.
Utilizando el mismo proceso teórico del ejemplo 1, se tiene lo siguiente:
Variables de decisión: X
X
X
Objetivo: Maximizar la audiencia total o cantidad de personas que ven la publicidad
Max 100.000 personas X
1: unidades de publicidad a contratar en televisión.2: unidades de publicidad a contratar en radio.3: unidades de publicidad a contratar en prensa.1 Unid en t.v + 18.000 X2 + 40.000 X3Unid en t.v
Restricción 1: Disponibilidad limitada de presupuesto para la publicidad:
2.000 $ X
unid. public. a contratar en t.v.
Restricciones 2, 3 y 4: Uso máximo de medios para la publicidad:
X
X
X
Restricción 5: Publicidad limitada a un máximo de 50% en radio, con relación al total de unidades a contratar:
X
1 ( unidades de publicidad a contratar en t.v) + 300 X2 + 600 X3 £ 18.500 $1 ( unidades de publicidad a contratar en t.v) £ 10 unidades de publicidad a contratar en t.v2 ( unidades de publicidad a contratar en radio) £ 20 unidades de publicidad a contratar en radio3 ( unidades de publicidad a contratar en prensa) £ 10 unidades de publicidad a contratar en prensa2 ( unidades de publicidad a contratar en radio) £ 0.5 (X1+ X2+ X3)Finalmente quedará expresada así: - 0.5 X
Restricción 6: La cantidad de unidades solicitadas en televisión debe ser al menos 10% del total autorizado
X
1 + 0.5 X2 - 0.5 X3 £ 01 ( unidades de publicidad a contratar en t.v) ³ 0.10 (X1+ X2+ X3)Finalmente quedará expresada así: 0.9 X
Posteriormente puede resumir el modelo agregándole la restricción de no-negatividad de las variables
1 – 0.1 X2 - 0.1 X3 ³ 01, X2, X3 ³ 0
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